Operasi Hitung Perpangkatan Aljabar, Contoh Soal dan Pembahasan (Materi SMP)

Daftar Materi Fisika

• 1. Bilangan Bulat dan Operasi Hitungnya
• 2. Bentuk Pecahan dan Operasi Hitungnya
• 3. Bentuk Aljabar dan Operasi Hitungnya

Advertisement

Baca Juga:

Coba kalian ingat kembali materi tentang operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai bentuk perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku sebagai berikut.

pn	=	p × p × p × … × p
		sebanyak n faktor

Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal 1:

Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut.

1. (2p)2

2. –(3x2yz3)3

3. (–3p2q)2

Penyelesaian:

1. (2p)2 = (2p) × (2p) = 4p2

2. –(3x2yz3)3 = –27x6y3z9

3. (–3p2q)2 = 9p4q2

Contoh Soal 2:

a. (2a)2

b. (3xy)3

c. (–2ab)4

d. (4a2b2)2

e. –3(x2y)3

f. –(2pq)4

g. 1/2(2xy)2

h. a(ab2)3

Penyelesaian:

a. (2a)2 = 4a2

b. (3xy)3 = 9x3y3

c. (–2ab)4 = 16a4b4

d. (4a2b2)2 = 16a4b4

e. –3(x2y)3 = -3(x5y3) = -3x5y3

f. –(2pq)4 = -(16p4q4) = -16p4q4

g. 1/2(2xy)2 = 1/2(4x2y2) = 2x2y2

h. a(ab2)3 = a(a3b5) = a4b5

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli. Perhatikan uraian berikut.

□ (a + b)1 = a + b → koefisiennya 1  1

□ (a + b)2 = (a + b)(a + b)

= a2 + ab + ab+ b2

= a2 + 2ab+ b2 → koefisiennya 1  2  1

□ (a + b)3 = (a + b)(a + b)2

= (a + b)(a2 + 2ab + b2)

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 → koefisiennya 1  3  3  1

dan seterusnya.

Adapun pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 pada suku ke-2

lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn pada suku ke-(n + 1).

Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari penjabaran bentuk aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan menurut segitiga Pascal berikut.

Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.

Info Matematika!

Aturan penerapan segitiga Pascal dalam menjabarkan perpangkatan aljabar suku dua adalah sebagai berikut. Contoh: (a + b)5 = 1(a)5(b)0 +  5(a)4(b)1 + 10(a)3(b)2 + 10(a2)(b)3 + 5(a)1(b)4 + 1(a)0(b)5 (a + b)5 = a5 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + b5

Sekarang perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal 3:

Jabarkan bentuk aljabar berikut.

a. (3x + 5)2

b. (2x – 3y)2

c. (x + 3 y)3

d. (a – 4)4

Penyelesaian:

a. (3x + 5)2 = 1(3x)2(5)0 + 2(3x)1(5)1 + 1(3x)0(5)2

= 1(9x2)(1) + 2(3x)(5) + 1(1)(25)

= 9x2 + 30x + 25

b. (2x – 3y)2 = 1(2x)2(-3y)0 + 2(2x)1(–3y)1 + 1(2x)0(–3y)2

= 1(4x2)(1) + 2(2x)(–3y) + 1(1)(9y2)

= 4x2 – 12xy + 9y2

c. (x + 3y)3 = 1(x)3(3y)0 + 3(x)2(3y)1 + 3(x)1(3y)2 + 1(x)0(3y)3

= 1(x3)(1) + 3(x2)(3y) + 3(x)(9y2) + 1(1)(27y3)

= x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3

d. (a – 4)4 = 1(a)4(-4)0 + 4(a)3(-4)1 + 6(a)2(-4)2 + 4(a)1(-4)3 + 1(a)0(-4)4

= 1(a4)(1) + 4(a3)(-4) + 6(a2)(16) + 4(a)(-64) + 1(1)(256)

= a4 − 16a3 + 96a2 − 256a + 256

Info Matematika!

Semua bilangan dipangkatkan dengan nol, hasilnya adalah 1. Contoh: (1)0 = 1; (2)0 = 1; (-3)0 = 1; (-4)0 = 1; (a)0 = 1; (-b)0 = 1; (2x)0 = 1; (-3y)0 = 1.

Contoh Soal 4:

Pada bentuk aljabar berikut, tentukan koefisien dari

a. x2 pada (2x – 5)2.

b. x2 pada (x – 3)5.

c. x3y pada (3x + 2y)4.

d. x2y2 pada (x + 2y)4.

e. a3 pada (4 – 2a)4.

Penyelesaian:

a. (2x – 5)2 = 1(2x)2(-5)0 + 2(2x)1(-5)1 + 1(2x)0(-5)2

= 1(4x2)(1) + 2(2x)(-5) + 1(1)(25)

= 4x2 – 20x + 25

Jadi, koefisien x2 adalah 4.

b. (x – 3)5 = 1(x)5(-3)0 + 5(x)4(-3)1 + 10(x)3(-3)2 + 10(x)2(-3)3 + 5(x)1(-3)4 + 1(x)0(-3)5

= 1(x5)(1) + 5(x4)(-3) + 10(x3)(9) + 10(x2)(-27) + 5(x)(81) + 1(1)(405)

= x5 – 15x4 + 90x3 – 270x2 + 405x + 243

Jadi, koefisien x2 adalah -270.

c. (3x + 2y)4 = 1(3x)4(2y)0 + 4(3x)3(2y)1 + 6(3x)2(2y)2 + 4(3x)1(2y)3 + 1(3x)0(2y)4

= 1(81x4)(1) + 4(27x3)(2y) + 6(9x2)(4y2) + 4(3x)1(8y3) + 1(1)(16y4)

= 81x4 + 216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4

Jadi, koefisien x3y adalah 216.

d. (x + 2y)4 = 1(x)4(2y)0 + 4(x)3(2y)1 + 6(x)2(2y)2 + 4(x)1(2y)3 + 1(x)0(2y)4

= 1(x4)(1) + 4(x3)(2y) + 6(x2)(4y2) + 4(x)(8y3) + 1(1)(16y4)

= x4 + 8x32y + 24x24y2 + 32xy3 + 16y4

Jadi, koefisien x2y2 adalah 24.

e. (4 – 2a)4 = 1(4)4(-2a)0 + 4(4)3(-2a)1 + 6(4)2(-2a)2 + 4(4)1(-2a)3 + 1(4)0(-2a)4

= 1(256)(1) + 4(64)(-2a) + 6(16)(4a2) + 4(4)(-8a3) + 1(1)(16a4)

= 256 – 512a + 384a2 – 128a3 + 16a4

Jadi, koefisien a3 adalah -128.