Operasi Hitung Perpangkatan Pecahan, Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan (Materi SMP)
https://math4junior.blogspot.com/2018/02/operasi-hitung-perpangkatan-pecahan.html
Daftar Materi Fisika
Advertisement
Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan membahas perpangkatan pada pecahan dengan pangkat bilangan bulat positif. Di kelas IX nanti kalian akan mempelajari perpangkatan pada pecahan dengan pangkat bilangan bulat negatif dan nol. Dalam artikel sebelumnya, kalian telah mempelajari bahwa pada bilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif berlaku:
an
|
=
|
a × a × a × … × a,
|
untuk setiap bilangan bulat a
|
n faktor
|
Dengan kata lain, perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Definisi tersebut juga berlaku pada bilanga pecahan berpangkat. Perhatikanlah uraian berikut ini.
1
|
1
|
=
|
1
| ||
2
|
2
|
1
|
2
|
=
|
1
|
×
|
1
|
=
|
1
|
=
|
1
| ||
2
|
2
|
2
|
22
|
4
|
1
|
3
|
=
|
1
|
×
|
1
|
×
|
1
|
=
|
1
|
=
|
1
| ||
2
|
2
|
2
|
2
|
23
|
8
|
1
|
n
|
=
|
1
|
×
|
1
|
×
|
…
|
×
|
1
| ||
2
|
2
|
2
|
2
| ||||||||
n faktor
| |||||||||||
Dari uraian di atas, secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk sebarang bilangan bulat p dan q dengan q ≠ 0 dan m bilangan bulat positif berlaku:
p
|
m
|
=
|
p
|
×
|
p
|
×
|
…
|
×
|
p
| ||||
q
|
q
|
q
|
q
| ||||||||||
m faktor
| |||||||||||||
Dalam hal ini, bilangan pecahan p/q disebut bilangan pokok.
Contoh 1:
Tentukan hasil operasi hitung pecahan berikut.
−
|
2
|
2
| |
3
|
Jawab:
−
|
2
|
2
|
=
|
−
|
2
|
×
|
−
|
2
|
=
|
(−2) × (−2)
|
=
|
4
| |
3
|
3
|
3
|
3 × 3
|
9
|
Contoh 2:
Tentukan hasil operasi hitung pecahan berikut.
3
|
3
| ||
4
|
Jawab:
3
|
3
|
=
|
3
|
×
|
3
|
×
|
3
|
=
|
3 × 3 × 3
|
=
|
27
| ||
4
|
4
|
4
|
4
|
4 × 4 × 4
|
64
|
Sifat-Sifat Bilangan Pecahan Berpangkat
Coba kalian ingat kembali sifat-sifat pada bilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada bilangan pecahan berpangkat sebagai berikut.
Untuk sebarang bilangan bulat p, q dengan q ≠ 0 dan m, n bilangan bulat positif berlaku sifat-sifat berikut.
P
|
m
|
=
|
pm
| ||
q
|
qm
|
P
|
m
|
×
|
P
|
n
|
=
|
P
|
m + n
| ||||||||
q
|
q
|
q
|
P
|
m
|
:
|
P
|
n
|
=
|
P
|
m − n
| ||||||||
q
|
q
|
q
|
n
| |||||||||||
P
|
m
|
=
|
P
|
m × n
| |||||||
q
|
q
| ||||||||||
Contoh 3:
Tentukan nilai perpangkatan berikut.
2
|
5
|
:
|
2
|
2
| |||||
3
|
3
|
Jawab:
2
|
5
|
:
|
2
|
2
|
=
|
2
|
5 − 2
| ||||||||
3
|
3
|
3
|
2
|
3
|
=
|
2
|
×
|
2
|
×
|
2
|
=
|
8
| ||
3
|
3
|
3
|
3
|
27
|
Contoh 4:
Tentukan nilai perpangkatan berikut.
3
| |||||
3
|
2
| ||||
5
| |||||
3
| |||||||||||
3
|
2
|
=
|
3
|
2 × 3
| |||||||
5
|
5
| ||||||||||
3
|
6
|
=
|
729
| ||
5
|
15.625
|
Contoh Soal dan Pembahasan
1) Tentukanlah hasil perpangkatan pecahan berikut ini.
2
|
1
|
3
| |
2
|
Jawab:
Untuk perpangkatan pecahan campuran, terlebih bentuk pecahan campuran diubah menjadi bentuk pecahan biasa.
2
|
1
|
3
|
=
|
5
|
3
| ||||
2
|
2
|
5
|
3
|
=
|
53
|
=
|
125
|
=
|
15
|
5
| ||
2
|
23
|
8
|
8
|
2) Tentukanlah nilai pemangkatan berikut ini.
2
|
3
|
×
|
2
|
2
| |||||
5
|
5
|
Jawab:
2
|
3
|
×
|
2
|
2
|
=
|
2
|
5 + 2
| ||||||||
5
|
5
|
5
|
2
|
7
|
=
|
27
|
=
|
128
| ||
5
|
57
|
78.125
|
3) Hitunglah!
1
|
3
|
+
|
3
|
2
| |||||
2
|
4
|
Jawab:
Sebelum dijumlahkan, masing-masing pecahan dipangkatkan terlebih dahulu, yaitu sebagai berikut.
1
|
3
|
=
|
13
|
=
|
1
| ||
2
|
23
|
8
|
3
|
2
|
=
|
32
|
=
|
9
| ||
4
|
42
|
16
|
Maka, hasil penjumlahannya adalah sebagai berikut.
1
|
+
|
9
|
=
|
2 + 9
|
=
|
11
| |
8
|
16
|
16
|
16
|
4) Hitunglah nilai n dari:
2
|
n
|
=
|
16
| ||
3
|
81
|
Jawab:
2
|
n
|
=
|
24
| ||
3
|
34
|
2
|
n
|
+
|
2
|
4
| |||||
3
|
3
|
Jadi nilai n = 4.
5) Sebuah bola dipantulkan dari lantai. Pantulan pertama 21/2 m. Tinggi pantulan berikutnya ditetapkan 2/3 kali pantulan sebelumnya. Hitunglah berapa meter panjangnya dari pantulan pertama sampai pantulan keempat.
Jawab:
Pantulan pertama: 21/2
Pantulan pertama: 21/2
Pantulan kedua: 2/3 × pantulan pertama = 2/3 × 21/2
Pantulan ketiga: 2/3 × pantulan kedua = 2/3 × (2/3 × 21/2)
Pantulan keempat: 2/3 × pantulan ketiga = 2/3 × (2/3 × 2/3 × 21/2)
Maka panjang pantulan pertama sampai pantulan keempat adalah sebagai berikut.
Jumlah pantulan = pantulan pertama + kedua + ketiga + keempat
Jumlah pantulan = (21/2) + (2/3 × 21/2) + (2/3 × 2/3 × 21/2) + (2/3 × 2/3 × 2/3 × 21/2)
Jumlah pantulan = (21/2) + (2/3 × 21/2) + {(2/3)2 × 21/2)} + {(2/3)3 × 21/2)}
Jumlah pantulan = 21/2{1 + 2/3 + (2/3)2 + (2/3)3}
Jumlah pantulan = 21/2{1 + 2/3 + 4/9 + 8/27}
Jumlah pantulan = 21/2{27/27 + 18/27 + 12/27 + 8/27}
Jumlah pantulan = 21/2(65/27)
Jumlah pantulan = 5/2 × 65/27
Jumlah pantulan = 325/54
Jumlah pantulan = 61/54
Jadi, panjang pantulan dari pantulan pertama sampai pantulan keempat adalah 61/54 meter.
